Question

12．已知无穷数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+λ}$．如果对于任意的正整数n，都有a_n≤a₇恒成立，那么正实数λ的取值范围是（42.25，56.25）．

Answer 1

分析 利用基本不等式可知a_n≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{λ}{n}}}$当且仅当n=$\frac{λ}{n}$即λ=n²时取等号，进而6.5＜$\sqrt{λ}$＜7.5，计算即得结论．

解答 解：∵λ＞0，∴a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+λ}$=$\frac{1}{n+\frac{λ}{n}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{λ}{n}}}$，
当且仅当n=$\frac{λ}{n}$即λ=n²时取等号，
∵对于任意的正整数n，都有a_n≤a₇恒成立，
∴6.5＜$\sqrt{λ}$＜7.5，
解得：42.25＜λ＜56.25，
故答案为：（42.25，56.25）．

点评 本题是一道关于数列与函数的综合题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．