题目内容
15．已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a1=-$\frac{1}{2}$，且2S3=S1+S2．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=$\frac{（-1）^{n}n}{{a}_{n}}$，求数列{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）利用2S3=S1+S2即$2{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=a1（2+q）化简可得公比q=-$\frac{1}{2}$，进而可得结论；
（2）通过an=$（-\frac{1}{2}）^{n}$可知bn=n•2n，利用错位相减法计算即得结论．
解答 解：（1）设数列{an}的公比为q，
∵2S3=S1+S2，
∴$2{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=a1（2+q），
化简得：2q2+q=0，
∴q=-$\frac{1}{2}$或q=0（舍），
又a1=-$\frac{1}{2}$，
∴an=-$\frac{1}{2}$•$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（-\frac{1}{2}）^{n}$；
（2）∵an=$（-\frac{1}{2}）^{n}$，
∴bn=$\frac{（-1）^{n}n}{{a}_{n}}$=（-1）n•（-2）n•n=n•2n，
∴Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
∴2Tn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，
两式相减得：-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2n+1
=（1-n）2n+1-2，
∴Tn=2+（n-1）2n+1．
点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
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