Question

3．设函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象与x轴从左至右依次交于不同的三点A，M，B，分别过点A，B作曲线y=f（x）的切线，切点分别为P，Q，且点P与A不重合，点Q与B不重合，设点P，Q在x轴上的射影分别为P′，Q′，则$\frac{|AB|}{|P′Q′|}$=（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． 3
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 设出A、B、P、Q的坐标，表示出切线的斜率，求出x₃，x₄的解，代入$\frac{|AB|}{|P′Q′|}$，求出答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
f′（x）=3${{x}_{3}}^{2}$+2ax₃+b，
即：$\frac{{{x}_{3}}^{3}+{{ax}_{3}}^{2}+{bx}_{3}+c}{{x}_{3}{-x}_{1}}$-$\frac{{{x}_{1}}^{3}+{{ax}_{1}}^{2}+{bx}_{1}+c}{{x}_{3}{-x}_{1}}$=3${{x}_{3}}^{2}$+2ax₃+b，
化简整理得：x₃=-$\frac{a{+x}_{1}}{2}$，同理x₄=-$\frac{a{+x}_{2}}{2}$，
∴$\frac{|AB|}{|P′Q′|}$=$\frac{{|x}_{2}{-x}_{1}|}{{|x}_{4}{-x}_{3}|}$=2，
故选：B．

点评 本题考查了曲线的切线方程，考查斜率的定义，考查导数的应用，是一道基础题．