题目内容

3.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象与x轴从左至右依次交于不同的三点A,M,B,分别过点A,B作曲线y=f(x)的切线,切点分别为P,Q,且点P与A不重合,点Q与B不重合,设点P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′,则$\frac{|AB|}{|P′Q′|}$=(  )
A.4B.2C.3D.$\frac{3}{2}$

分析 设出A、B、P、Q的坐标,表示出切线的斜率,求出x3,x4的解,代入$\frac{|AB|}{|P′Q′|}$,求出答案.

解答 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),
f′(x)=3${{x}_{3}}^{2}$+2ax3+b,
即:$\frac{{{x}_{3}}^{3}+{{ax}_{3}}^{2}+{bx}_{3}+c}{{x}_{3}{-x}_{1}}$-$\frac{{{x}_{1}}^{3}+{{ax}_{1}}^{2}+{bx}_{1}+c}{{x}_{3}{-x}_{1}}$=3${{x}_{3}}^{2}$+2ax3+b,
化简整理得:x3=-$\frac{a{+x}_{1}}{2}$,同理x4=-$\frac{a{+x}_{2}}{2}$,
∴$\frac{|AB|}{|P′Q′|}$=$\frac{{|x}_{2}{-x}_{1}|}{{|x}_{4}{-x}_{3}|}$=2,
故选:B.

点评 本题考查了曲线的切线方程,考查斜率的定义,考查导数的应用,是一道基础题.

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