Question

15．已知f（x）=ax²+bx+c（a＞0），y=f（x）-x的零点为x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{a}$．
（1）当x∈（0，x₁），求证：x＜f（x）＜x₁．
（2）若x=x₀为y=f（x）的对称轴，求证：x₀＜$\frac{{x}_{1}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）可以构造一个函数，然后利用做差的方法进行，然后判断差的符号即可；
（2）将对称轴用x₁，x₂表示出来，然后与$\frac{{x}_{1}}{2}$比较即可，注意性质的运用．

解答 证明：（1）令F（x）=f（x）-x，
因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，
所以F（x）=a（x-x₁）（x-x₂），且a＞0，
当x∈（x₁，x₂）时，由x₁＜x＜x₂得（x-x₁）（x-x₂）＜0，又a＞0，
所以F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＜0，即f（x）＜x．
而x₁-f（x）=x₁-[x+F（x）]=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]．
因为0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{a}$，
所以x₁-x＜0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0，
得x-f（x）＜0，
由此得x₁＜f（x）＜x．
（2）由（1）知f（x）=F（x）+x=x+a（x-x₁）（x-x₂）
=ax²+[1-a（x₁+x₂）]x+ax₁x₂
由x₀=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）-1}{2a}$=$\frac{a{x}_{2}-1}{2a}$+$\frac{{x}_{1}}{2}$，
因为ax₂＜1，所以$\frac{a{x}_{2}-1}{2a}$+$\frac{{x}_{1}}{2}$＜$\frac{{x}_{1}}{2}$，
即x₀＜$\frac{{x}_{1}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数与二次不等式、方程的根之间的关系，要注意将函数的性质与方程的根结合函数的图象有机结合起来．