题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若函数
在区间
内单调递减,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(1)求导,对k分类讨论,得到函数的单调区间;(2)函数
在区间
内单调递减,即不等式在
在
上成立,利用二次函数的图象与性质,易得
的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为
.
,
(1)当时,令
,解得
,此时函数
为单调递增函数;
令,解得
,此时函数
为单调递减函数.
(2)当时,
①当,即
时,
令,解得
或
,此时函数
为单调递增函数;
令,解得
,此时函数
为单调递减函数.
②当 时,
恒成立,函数
在
上为单调递增函数;
③当,即
时,
令,解得
或
,此时函数
为单调递增函数;
令,解得
,此时函数
为单调递减函数.
综上所述,
当时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
.
(Ⅱ),
因为函数在
内单调递减,所以不等式在
在
上成立.
设,则
即
解得
.
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