Question

6．已知命题p：（m-t-1）（m-t+1）≤0，t∈R．命题q：函数f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在（-∞，+∞）上存在极值，若￢p是￢q的必要不充分条件，求t的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q的m的范围，结合￢p是￢q的必要不充分条件，从而求出t的范围即可．

解答 解：对于p：∵（m-t-1）（m-t+1）≤0，
∴t-1＜m＜t+1，
对于q：∵函数f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6存在极值，
∴f′（x）=3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$=0，它有两个不相等的实根，
∴△=4m²-12m-16＞0
解得m＜-1或m＞4；
若￢p是￢q的必要不充分条件，
即q是p的必要不充分条件，即p⇒q，
∴t+1≤-1或t-1≥4，
解得：t≤-2或t≥5．

点评 本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性、极值问题，是一道基础题．