题目内容

【题目】已知f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:
①f(0)f(1)>0;
②f(0)f(1)<0;
③f(0)f(3)>0;
④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

【答案】C
【解析】解:求导函数可得f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3),

∵a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.

∴a<1<b<3<c,

设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c)=x3﹣(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x﹣abc,

∵f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,

∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9,

∴b+c=6﹣a,

∴bc=9﹣a(6﹣a)<

∴a2﹣4a<0,

∴0<a<4,

∴0<a<1<b<3<c,

∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0,

∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0.

故选:C.

【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案.

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