题目内容
20．已知在△ABC中，角A、B、C成公差大于0的等差数列，且满足条件：1-cos2A-cos2C+cos2Acos2C=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$，则$\frac{a+\sqrt{2}b}{c}$的值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{6}+1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ | C． | $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$ | D． | 2 |
分析 由题意可得解得：A＜B＜C，B=$\frac{π}{3}$，化简条件可得sinAsinC=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．再由积化和差公式可得cos（-A+C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故C-A=30°，由此可得 A和C的值，求出sinA和sinB 的值，再利用两角和的正弦公式求得sinC的值，利用正弦定理即可求值．
解答 解：∵在△ABC中，角A、B、C成公差大于0的等差数列，2B=A+C，A+B+C=π，
∴解得：A＜B＜C，B=$\frac{π}{3}$，
∵1-cos2A-cos2C+cos2Acos2C=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$，
∴可得：（1-cos2A）（1-cos2C）=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$，
有2sin2A•2sin2C=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$，得sin2A•sin2C=（$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$）2，
可得：sinAsinC=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$
∴解得：-$\frac{1}{2}$[cos（A+C）-cos（A-C）]=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，
解得：cos（A-C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C-A=$\frac{π}{6}$，解得：A=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{5π}{12}$
∴sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinC=sin（$\frac{π}{4}+\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
∴$\frac{a+\sqrt{2}b}{c}$=$\frac{sinA+\sqrt{2}sinB}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$=2．
点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，等差数列的定义和性质，正弦定理的应用，属于中档题
优生乐园系列答案
新编小学单元自测题系列答案| A． | y=sinx | B． | y=cosx | C． | y=sin2x | D． | y=cos2x |
| A． | x=$\frac{π}{2}$+1 | B． | x=$\frac{π}{2}$ | C． | x=π+1 | D． | x=π |
已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈α，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，求D到平面ABC的距离．
如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机抽取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |