Question

11．已知SC是三棱锥S-ABC外接球直径，SC=2，AB=BC=AC=1，则三棱锥体积为多少．

Answer 1

分析 根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO₁，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．

解答 解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O₁，则OO₁⊥平面ABC，
延长CO₁交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴高SD=2OO₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_{三棱锥S-ABC}=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查三棱锥体积，考查学生的计算能力，利用截面圆的性质求出OO₁是解题的关键．