题目内容
4.求所有定义在非零实数上的函数f(x),它满足:(1)对所有非零实数x,f(x)=xf($\frac{1}{x}$);
(2)对所有x+y≠0的非零实数对(x,y),f(x)+f(y)=1+f(x+y).
分析 利用赋值法,构造函数g(x)=f(x)-1,判断出函数g(x)为奇函数,再通过证明得到g(x)=x,继而求出函数f(x).
解答 解:∵f(x)+f(y)=1+f(x+y),
令g(x)=f(x)-1,
∴g(x+y)=g(x)+g(y)…(1)
∴g(x)+1=xg($\frac{1}{x}$)+x…(2),
令x=-1,则g(-1)+1=-g(-1)-1,
解得g(-1)=-1,
再对(1)取y=-x-1得-1=g(x-x-1)=g(x)+g(-x)+g(-1),
∴g(-x)=-g(x),
即g(x)是奇函数.
将(2)变形为:
g(x)-x=x[g($\frac{1}{x}$)-$\frac{1}{x}$]…(3)
如果存在a>0使得g(a)>a,那么g($\frac{1}{a}$)>$\frac{1}{a}$,
∵g(-a)=-g(a)<-a,
在(3)中取x=-a得到g(-$\frac{1}{a}$)>-$\frac{1}{a}$,
∴g($\frac{1}{a}$)=-g(-$\frac{1}{a}$)<$\frac{1}{a}$,矛盾.
同理可以证明不存在a>0使得g(a)=0时只能有g(a)=a.
再利用奇函数的性质得a<0时也有g(a)=a,
即(1)和(2)只有唯一解
g(x)=x,
∴f(x)=x+1
点评 本题考查抽象函数及运用,考查解决抽象函数的常用方法:赋值法,正确赋值是迅速解题的关键,考查函数解析式的求法:函数方程法,属于难题.
练习册系列答案
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