Question

20．已知$f（x）=cosx•cos（{x-\frac{π}{3}}）+a+\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的周期及递增区间；
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，f（x）的最小值为2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+$\frac{3}{4}$，由周期公式可得周期，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调递增区间；
（2）由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$和三角函数的值域可得当sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$时，函数取最小值a+$\frac{1}{2}$=2，解方程可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得$f（x）=cosx•cos（{x-\frac{π}{3}}）+a+\frac{1}{2}$
=cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+a+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+a+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+a+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x+a+$\frac{3}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+$\frac{3}{4}$，
∴函数的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴函数的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴当sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$时，函数取最小值a+$\frac{1}{2}$=2，解得a=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性以及最值，属中档题．