已知函数f(x)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$．的最小正周期,=-$\frac{6}{13}$.x∈[$\frac{π}{2}$.$\frac{3π}{2}$].求cosx的值,的图象向右平移m个单位.使平移后的图象关于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）=-$\frac{6}{13}$，x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，求cosx的值；
（3）将函数f（x）的图象向右平移m个单位，使平移后的图象关于原点对称，若0＜m＜π，试求m的值．

分析（1）利用两角和差的正弦公式花简f（x）的解析式为f（x）=$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$），由周期公式即可得解．
（2）由题意，先求sin（x-$\frac{π}{6}$），cos（x-$\frac{π}{6}$）的值，利用cosx=cos[（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]即可得解．
（3）把它的图象向右平移m个单位长度，得到的图象对应的函数为y=$\frac{1}{2}$sin（x-m-$\frac{π}{6}$），是奇函数，由此求得m的值．

解答解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx-$\frac{1+cosx}{4}$+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）
=$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）∵x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{6}{13}$，
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{12}{13}$，x-$\frac{π}{6}$∈（π，$\frac{4π}{3}$]，
∴cos（x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{5}{13}$，
∴cosx=cos[（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（x-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（x-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=（-$\frac{5}{13}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{12-5\sqrt{3}}{26}$．
（3）把f（x）的图象向右平移m（0＜m＜π）个单位长度，得到的图象对应的函数为y=$\frac{1}{2}$sin（x-m-$\frac{π}{6}$），
由题意可得y=$\frac{1}{2}$sin（x-m-$\frac{π}{6}$）为奇函数，故m=$\frac{5π}{6}$，

点评本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，考查了计算能力，属于中档题．