题目内容
【题目】（13分）如图，椭圆
经过点
，离心率
，直线l的方程为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）
是经过右焦点
的任一弦（不经过点
），设直线与直线
相交于点
，记
、
、
的斜率分别为
、
、
．问：是否存在常数
，使得
? 若存在，求的值； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
．
【解析】试题分析：（1）将点
代入椭圆方程，再根据
，解方程组可求得
的值，从而可得椭圆方程．（2）设直线
的方程为
，与椭圆方程联立，消去
得关于
的一元二次方程，由韦达定理可得两根之和，两根之积．根据斜率公式分别求
和
的值．求
．
试题解析：解：（1）由在椭圆上，得
①．
又
得
．．②
由①②，得
故椭圆C的方程为5分
（2）设直线的方程为
，
由
7分
10分
又将
代入
得
， ，， 12分
故存在常数符合题意． 13分
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