Question

18．已知二次函数f（x）=x²+6ax-a的图象与x轴有两个不同的交点（x₁，0），（x₂，0），且$\frac{a}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$-$\frac{3}{（1-6a-{x}_{1}）（1-6a-{x}_{2}）}$=8a-3，求a的值．

Answer 1

分析 利用韦达定理及解析式得到x₁+x₂=-6a，x₁ x₂=-a，6a+x₁=$\frac{a}{{x}_{1}}$，6a+x₂=$\frac{a}{{x}_{2}}$，代入表达式从而有（8a-3）（7a-1）=3-a，解出即可．

解答 解：由题意得：x₁+x₂=-6a，x₁ x₂=-a，6a+x₁=$\frac{a}{{x}_{1}}$，6a+x₂=$\frac{a}{{x}_{2}}$，
∴$\frac{a}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$-$\frac{3}{（1-6a-{x}_{1}）（1-6a-{x}_{2}）}$
=$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}+（{{x}_{1}+x}_{2}）+1}$-$\frac{3}{（1-\frac{a}{{x}_{1}}）（1-\frac{a}{{x}_{2}}）}$
=$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}+（{{x}_{1}+x}_{2}）+1}$-$\frac{{{3x}_{1}x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}-a{（x}_{1}{+x}_{2}）{+a}^{2}}$
=$\frac{a}{-7a+1}$+$\frac{3a}{{7a}^{2}-a}$
=$\frac{3}{7a-1}$-$\frac{a}{7a-1}$
=$\frac{3-a}{7a-1}$=8a-3，
∴（8a-3）（7a-1）=3-a，
∴56a²-28a=0，
解得：a=0（舍）或a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，得到x₁+x₂=-6a，x₁ x₂=-a，6a+x₁=$\frac{a}{{x}_{1}}$，6a+x₂=$\frac{a}{{x}_{2}}$，代入所求的等式得到关于a的方程是解题的关键，本题是一道中档题．