Question

2．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B-A=$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；
（Ⅱ）由题意可得A∈（0，$\frac{π}{4}$），可得0＜sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化简可得sinA+sinC=-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$，
∴sinB=cosA，即sinB=sin（$\frac{π}{2}$+A）
又B为钝角，∴$\frac{π}{2}$+A∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴B=$\frac{π}{2}$+A，∴B-A=$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π-（A+B）=π-（A+$\frac{π}{2}$+A）=$\frac{π}{2}$-2A＞0，
∴A∈（0，$\frac{π}{4}$），∴sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{π}{2}$-2A）
=sinA+cos2A=sinA+1-2sin²A
=-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{4}$），∴0＜sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由二次函数可知$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$≤$\frac{9}{8}$
∴sinA+sinC的取值范围为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{9}{8}$]

点评 本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．