题目内容
【题目】如图，在直角梯形
中， 
， 
， 
.直角梯形
通过直角梯形
以直线
为轴旋转得到，且使平面
平面
. 
为线段
的中点， 
为线段
上的动点.
（1）求证： 
；
（2）当点
是线段
中点时，求二面角
的余弦值；
（3）是否存在点
，使得直线
平面
？请说明理由.
【答案】(1)见解析(2) 
（3）存在点
，使得直线
平面
【解析】试题分析：（Ⅰ）由
平面
平面
.．推出
平面
．即可证明
．
（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．
（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出
，利用
．求出λ，即可证明结果．
试题解析：
（1）由已知
，平面
平面
平面
，平面
平面
所以
平面
又
平面
所以
（2）由（1）可知
， 
， 
两两垂直.
分别以
， 
， 
为
轴， 
轴， 
轴建立空间直角坐标系如图所示.
由已知
所以
， 
， 
， 
， 
因为
为线段
的中点， 
为线段
的中点.
所以
， 
易知平面
的一个法向量
设平面
的一个法向量为
由
得
取
，得
由图可知，二面角
的大小为锐角，
所以
所以二面角
的余弦值为
（3）存在点
，使得直线
平面
设
，且
， 
，则
所以
， 
， 
.所以
设平面
的一个法向量为
，
由
得
取
，得
（
不符合题意）
又
若
平面
，则
所以
，所以
所以存在点
，使得直线
平面
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