题目内容
1．函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（0，$\sqrt{a}$）与（$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数还是减函数？请证明你的结论，并利用函数奇偶性与单调性关系，判断在（-$\sqrt{a}$，0）与（-∞，-$\sqrt{a}$）上的单调性．分析 根据函数单调性的定义，利用定义法进行证明即可．
解答 解：设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x1+$\frac{a}{{x}_{1}}$-x2-$\frac{a}{{x}_{2}}$=（x1-x2）+$\frac{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x1-x2）（1-$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x1-x2）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-a}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
若0＜x1＜x2＜$\sqrt{a}$，则x1-x2＜0，0＜x1x2＜a，
即x1x2-a＜0，则f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即在（0，$\sqrt{a}$）上是减函数．
若$\sqrt{a}$＜x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2＞a，
即x1x2-a＞0，则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即在（$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数．
∵f（-x）=-x-$\frac{a}{x}$=-（x+$\frac{a}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
则在（-$\sqrt{a}$，0）上为减函数，在（-∞，-$\sqrt{a}$）上为增函数．
点评 本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．
练习册系列答案
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6．数列{an}满足a1=1，an+1=an+n+1（n∈N•），则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$等于（ ）
| A． | $\frac{2015}{2016}$ | B． | $\frac{4028}{2015}$ | C． | $\frac{2015}{1008}$ | D． | $\frac{1007}{1008}$ |
中，角
所对的边分别为
，若
，则
（ ）
B．
C．
D．