Question

【题目】已知z∈C，z+2i 和 都是实数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，

，

∵z+2i 和 都是实数，∴ ，解得 ，∴z=4﹣2i

（2）解：由（1）知z=4﹣2i，∴（z+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i，

∵（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，∴ ，

即 ，∴ ，∴﹣2＜a＜2，即实数a 的取值范围是（﹣2，2）．

【解析】（1）化简等式，利用复数为实数的条件求出a，b的值，即得复数z．（2）化简式子，利用复数与复平面内对应点之间的关系列出不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的复数的定义，需要了解形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部才能得出正确答案．