Question

【题目】已知函数f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y﹣3=0平行，求a的值；
（2）若 ，试讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函数f（x）的定义域为 .

由题意 ，解得 ∴ ．

（2）

解：若 ，则 . ．

（1）令 ，由函数定义域可知，4x+2＞0，所以2x+4a+1＞0

①当a≥0时， ，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；

②当a＜0时， ，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；

（2）令 ，即2x+4a+1＜0

①当a≥0时，不等式f'（x）＜0无解；

②当a＜0时， ，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；

综上：当a≥0时，函数f（x）在区间 为增函数；

当a＜0时，函数f（x）在区间 为增函数；

在区间 为减函数．

【解析】（1）先求函数的定义域，然后求出函数的导函数，根据导数的几何意义和极值的定义建立方程组 ，解之即可；（2）讨论a的正负，然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．