Question

2．在△ABC中，若A＞B，则下列关系中不一定正确的是③．
①sinA＞sinB②cosA＜cosB③sin2A＞sin2B④cos2A＜cos2B．

Answer 1

分析 ①通过A＞B，利用正弦定理，推出sinA＞sinB．②由A＞B，通过余弦函数的单调性可得cosA＜cosB；③由A＞B通过举反例说明sin2A＞sin2B不正确即可；④由A＞B，通过正弦定理以及同角三角函数的基本关系式，以及二倍角的余弦函数推出cos2A＜cos2B．

解答 解：由①，∵A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故①正确；
由②，A＞B，△ABC中，A、B∈（0，π），余弦函数是减函数，所以cosA＜cosB，故②正确；
对于③，例如A=60°，B=45°，满足A＞B，但不满足sin2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin2B=1，所以sin2A＞sin2B，③不正确；
对于④，因为在△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB＞0，所以
sin²A＞sin²B，可得 1-2sin²A＜1-2sin²B，由二倍角公式可得：cos2A＜cos2B，故④正确．
故答案为：③．

点评 本题考查正弦函数的单调性，正弦定理，同角三角函数的基本关系，三角形中有大角对大边，将命题转化是解题的关键．