Question

14．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为$\frac{9}{32}$．

Answer 1

分析 设球的半径为r，由已知求出圆锥底面圆的直径为$\sqrt{3}r$，圆锥的高h=$\frac{3}{2}r$，由此能求出该圆锥的体积与球O的体积的比值．

解答 解：圆锥与球的截面如图，
设球的半径为r，
则圆锥底面圆的直径为$\sqrt{3}r$，圆锥底面面积为$π（\frac{\sqrt{3}}{2}r）^{2}=\frac{3π{r}^{2}}{4}$，
圆锥的高h=$\sqrt{3{r}^{2}-\frac{3{r}^{2}}{4}}$=$\frac{3}{2}r$，
圆锥的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}r×\frac{3π{r}^{2}}{4}$=$\frac{3π{r}^{3}}{8}$，
球的体积为$\frac{4}{3}π{r}^{3}$，该圆锥的体积与球O的体积的比值为$\frac{\frac{3π{r}^{3}}{8}}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$=$\frac{9}{32}$．
故答案为：$\frac{9}{32}$．

点评 本题考查圆锥的体积与球的体积的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球与其内接几何体的关系的合理运用．