Question

13．已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=$\frac{n-g（x）}{m+2g（x）}$是奇函数．
（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的t∈（1，4），不等式f（2t-3）+f（t-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），由a³=8解得a=2．故g（x）=2^x．再根据函数是奇函数，求出m、n的值，得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据零点存在定理得到h（-1）h（1）＜0，解得即可；
（Ⅲ）根据函数为奇函数和减函数，转化为即对一切t∈（1，4），有3t-3＜k恒成立，再利用函数的单调性求出函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a³=8，解得a=2．∴g（x）=2^x．
∴f（x）=$\frac{n-{2}^{x}}{m+{2}^{x+1}}$，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴$\frac{n-1}{2+m}$=0，∴n=1，∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+m}$
又f（-1）=f（1），∴$\frac{1-\frac{1}{2}}{m+1}$=-$\frac{1-2}{4+m}$，解得m=2
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，又h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，
从而h（-1）h（1）＜0，即（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{\frac{1}{2}+1}$+a）（$-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2+1}$+a）＜0，
∴（a+$\frac{1}{6}$）（a-$\frac{1}{6}$）＜0，
∴-$\frac{1}{6}$＜a＜$\frac{1}{6}$，
∴a的取值范围为（-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}$）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
易知f（x）在R上为减函数，
又f（x）是奇函数，
∴f（2t-3）+f（t-k）＞0，
∴f（2t-3）＞-f（t-k）=f（k-t），
∵f（x）在R上为减函数，由上式得2t-3＜k-t，
即对一切t∈（1，4），有3t-3＜k恒成立，
令m（t）=3t-3，t∈（1，4），
易知m（t）在（1，4）上递增，
m（t）＜3×4-3=9，
∴k≥9，
即实数k的取值范围是[9，+∞）．

点评 本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、属于中档题．