Question

20．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）证明函数f（x）是奇函数；
（3）证明函数f（x）是R上的增函数；
（4）解不等式f（2a²）+f（5a-2）＞0．

Answer 1

分析 （1）取x=y=0即可求得f（0）的值；
（2）令y=-x，易得f（x）+f（-x）=0，从而可判断其奇偶性；
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后判断其符号即可证得f（x）为R上的增函数；
（4）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：（1）取x=y=0得，则f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0；
（2）函数f（x）为奇函数，
证明：已知函数的定义域为R，
取y=-x代入，得f（0）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，于是f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；                        
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0知，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）为R上的增函数．
（4）f（2a²）+f（5a-2）＞0．
即f（2a²）＞-f（5a-2）=f（-5a+2），
∵函数f（x）是R上的增函数；
∴2a²＞-5a+2，
即2a²+5a-2＞0，
解得a＞$\frac{-5+\sqrt{41}}{4}$或a＜$\frac{-5-\sqrt{41}}{4}$．

点评 本题考查抽象函数及其应用，以及函数奇偶性和单调性的判断，利用赋值法以及函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．