题目内容

12.已知A(-$\frac{2}{{k}^{2}-1}$,0),B(0,-$\frac{2k}{{k}^{2}-1}$),其中k≠0且k≠±1,直线l经过点P(1,0)和AB的中点.
(1)求证:A,B关于直线l对称;
(2)当1<k<$\sqrt{2}$时,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.

分析 (1)由题意只需证明l和AB垂直即可,由斜率公式可得l和AB的斜率,乘积为-1即可;
(2)可得直线l在y轴上的截距b=-$\frac{1}{k}$,由1<k<$\sqrt{2}$和不等式的性质可得.

解答 解:(1)∵直线l经过点P(1,0)和AB的中点(-$\frac{1}{{k}^{2}-1}$,-$\frac{k}{{k}^{2}-1}$),
∴只需证明l和AB垂直即可,由斜率公式可得l的斜率为$\frac{-\frac{k}{{k}^{2}-1}-0}{-\frac{1}{{k}^{2}-1}-1}$=$\frac{1}{k}$,
直线的AB的斜率为$\frac{-\frac{2k}{{k}^{2}-1}-0}{0-(-\frac{2}{{k}^{2}-1})}$=-k,由$\frac{1}{k}$(-k)=-1可知直线垂直,
∴A,B关于直线l对称;
(2)由(1)可知l的斜率为$\frac{1}{k}$,故l的方程为y=$\frac{1}{k}$(x-1),
可得直线l在y轴上的截距b=-$\frac{1}{k}$,
∵1<k<$\sqrt{2}$,∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$<$\frac{1}{k}$<1,∴-1<-$\frac{1}{k}$<-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴直线l在y轴上的截距b的取值范围为(-1,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$)

点评 本题考查直线的对称轴和直线的垂直关系,涉及直线的截距和不等式的性质,属中档题.

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