题目内容
一正三棱锥A—BCD,其底面边长为a,侧棱长为2a,过点B作与侧棱AC、AD相交的截面,在这样的截面三角形中.(1)求周长的最小值;(2)求最小周长时的截面面积.
(1)周长的最小值为
(2) S△BMN=
(2) S△BMN=
如图甲所示,设截面与AC、AD的交点分别为M、N,将侧棱AB剪开后,将侧面展开铺平,当B′、M′、N′、B在一条直线上时,截面周长最短(如图乙).
(1)在△B′C′M′和△A′M′N′中,∠B′M′C′=∠A′M′N′,由展开图可知∠A′M′N′=∠A′N′M′,
∴∠A′M′N′=∠A′C′D′=∠A′C′B′.
故有∠B′M′C′=∠M′C′B′,
∴B′M′=B′C′=a,同理N′B=a,
由△A′C′D′—△B′C′M′,
∴C′M′=,∴A′M′=,
∴,即,
∴M′N′=,故B′B=,即周长的最小值为.
(2)由展开的图可知周长最小时的截面△BMN为等腰三角形,且BM=BN=a,MN=,∴MN上的高
,
∴S△BMN=
(1)在△B′C′M′和△A′M′N′中,∠B′M′C′=∠A′M′N′,由展开图可知∠A′M′N′=∠A′N′M′,
∴∠A′M′N′=∠A′C′D′=∠A′C′B′.
故有∠B′M′C′=∠M′C′B′,
∴B′M′=B′C′=a,同理N′B=a,
由△A′C′D′—△B′C′M′,
∴C′M′=,∴A′M′=,
∴,即,
∴M′N′=,故B′B=,即周长的最小值为.
(2)由展开的图可知周长最小时的截面△BMN为等腰三角形,且BM=BN=a,MN=,∴MN上的高
,
∴S△BMN=
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