Question

6．已知函数f（x）=ax³+2x²-a²x+b²在x=1处取得极大值，
（1）求a的值及f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=$\frac{4}{9}$b在区间[0，2]上恰有三个解，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，由f（x）在x=1处取得极大值，知f′（1）=3a+4-a²=0，由此能求出a，可得f（x）的单调区间．
（2）求出f（0）=f（1）=b²，f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{7}{27}$+b²，f（2）=-2+b²，利用关于x的方程f（x）=$\frac{4}{9}$b在区间[0，2]上恰有三个解，即可求b的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+2x²-a²x+b²，
∴f′（x）=3ax²+4x-a²，
∵f（x）=ax³+2x²-a²x+b²在x=1处取得极大值，
∴f′（1）=3a+4-a²=0，
解得a=-1或a=4，
经验证只有a=-1符合在x=1处取得极大值，
∴a=-1．f′（x）=-（x-1）（3x-1），
由f′（x）＞0，可得$\frac{1}{3}$＜x＜1，由f′（x）＜0，可得x＜$\frac{1}{3}$或x＞1，
∴函数的单调增区间为（$\frac{1}{3}$，1），单调减区间为（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）；
（2）由（1），f（0）=f（1）=b²，f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{4}{27}$+b²，f（2）=-2+b²，
∵关于x的方程f（x）=$\frac{4}{9}$b在区间[0，2]上恰有三个解，
∴-$\frac{4}{27}$+b²＜$\frac{4}{9}$b＜b²，
∴-$\frac{2}{9}$＜b＜0或$\frac{4}{9}$＜b＜$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查函数的极值与单调区间，考查函数的最值，考查函数的导数的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答．易错点是容易产生增根．