Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且C=2A，tanA=$\frac{{\sqrt{7}}}{3}$，a+c=5．
（Ⅰ）求sinA，cosA；
（Ⅱ）求b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据tanA，利用同角三角函数关系分别求得sinA，cosA．
（Ⅱ）利用正弦定理确定a和c的关系，进而根据已知可求得a和c，利用余弦定理求得b．

解答 解：（Ⅰ）∵tanA=$\frac{{\sqrt{7}}}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，cosA=$\frac{3}{4}$，
（Ⅱ）$\frac{a}{c}$=$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{sinA}{sin2A}$=$\frac{2}{3}$，
又a+c=5，
∴a=2，c=3，
由a²=b²+c²-2bccosA，解得b=2或$\frac{5}{2}$，
当b=2时，b=a，A=B=$\frac{C}{2}$，A=45°与题意不符，
∴b=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题中注意对求得的解进行检验．