题目内容
【题目】如图,设椭圆(a>1).
(Ⅰ)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示);
(Ⅱ)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
试题(Ⅰ)先联立和
,可得
,
,再利用弦长公式可得直线
被椭圆截得的线段长;(Ⅱ)先假设圆与椭圆的公共点有
个,再利用对称性及已知条件可得任意以点
为圆心的圆与椭圆至多有
个公共点时,
的取值范围,进而可得椭圆离心率的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)设直线被椭圆截得的线段为
,由
得
,
故,
.
因此.
(Ⅱ)假设圆与椭圆的公共点有个,由对称性可设
轴左侧的椭圆上有两个不同的点
,
,满足
.
记直线,
的斜率分别为
,
,且
,
,
.
由(Ⅰ)知,,
,
故,
所以.
由于,
,
得
,
因此, ①
因为①式关于,
的方程有解的充要条件是
,
所以.
因此,任意以点为圆心的圆与椭圆至多有
个公共点的充要条件为
,
由得,所求离心率的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后,旅游的人数不断地增加,不仅带动了该市淡季的旅游,而且优化了旅游产业的结构,促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变.下表是从2009年至2018年,该景点的旅游人数(万人)与年份
的数据:
第 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
旅游人数 | 300 | 283 | 321 | 345 | 372 | 435 | 486 | 527 | 622 | 800 |
该景点为了预测2021年的旅游人数,建立了与
的两个回归模型:
模型①:由最小二乘法公式求得与
的线性回归方程
;
模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线的附近.
(1)根据表中数据,求模型②的回归方程.(
精确到个位,
精确到0.01).
(2)根据下列表中的数据,比较两种模型的相关指数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测2021年该景区的旅游人数(单位:万人,精确到个位).
回归方程 | ① | ② |
30407 | 14607 |
参考公式、参考数据及说明:
①对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
.②刻画回归效果的相关指数
;③参考数据:
,
.
5.5 | 449 | 6.05 | 83 | 4195 | 9.00 |
表中.