Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.

（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；

（2）证明（1）中的猜想.

Answer 1

【答案】（1）a1＝－1；a2＝－；a3＝－；猜想an＝－（n∈N*）（2）证明见解析

【解析】

（1）分别令n＝1、2，通过解一元二次方程结合已知的递推公式可以求出a1，a2，同理求出a3，根据它们的值的特征猜想{an}的通项公式；

（2）利用数学归纳法，通过解一元二次方程可以证明即可.

（1）当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，

即

∴

当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，

将a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0.

∴a2＝－（a2>0）.

同理可得a3＝－.

猜想an＝－（n∈N*）.

（2）【证明】①由（1）知，当n＝1，2，3时，通项公式成立.

②假设当n＝k（k≥3，k∈N*）时，通项公式成立，

即ak＝－.

由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，

将ak＝－代入上式，整理得

＋2ak＋1－2＝0，

∴ak+1＝－，

即n＝k＋1时通项公式成立.

根据①②可知，对所有n∈N*，an＝－成立.