Question

【题目】已知函数，（，且）.

（1）当时，若对任意，恒成立，求实数的取值范围；

（2）若，设 ，是的导函数，判断的零点个数，并证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】分析：（1）由题意，求导，若k≤0，则g′（x）＞0，根据函数的单调性即可求得g（x）最大值，即可求得实数k的取值范围；

（2）构造辅助函数，求导，根据函数的单调性及函数零点的判断，即可求得f'（x）的零点个数．

详解: （1）当时，对任意，恒成立，

令，求导，

由，则，

若，则，所以在上是增函数，所以，符合题意，

当时，令，解得，，

则在上是减函数，当时，，不符合题意，

综上可知的取值范围为.

（2）证明：由题意：，由此可得为一个零点，

令（），则，

的减区间为，单调增区间为，

其中，则，，，

当时，，

由零点存在定理及单调性可知在上存在唯一的零点，

取，则，令，知在上是减函数，

故当时，，即，

由零点存在定理及单调性可知在上存在唯一，，

由的单调递减区间是，则在上仅存在唯一的零点，

综上可知共有三个零点.