Question

【题目】已知函数，函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；

（3）若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）代入a值，求函数的导数，由导数的几何意义求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（2）求导数，通过讨论a的范围，求函数单调区间，结合函数单调性和函数的最值可求a的范围；（3）求g（x）解析式，求函数导数，讨论函数单调性，由函数单调性和最值可确定a的范围．

（1）当时，，则，所以，

所以切线方程为.

（2），

①当时，恒成立，所以单调递增，

因为，所以有唯一零点，即符合题意；

②当时，令，解得，列表如下：

	-	0	+
		极小值

由表可知，.

（i）当，即时，，所以符合题意；

（ii）当，即时，，

因为，且，所以，

故存在，使得，所以不符题意；

（iii）当，即时，，

因为，

设，

则，

所以单调递增，即，所以，

又因为，所以，

故存在，使得，所以不符题意；

综上，的取值范围为.

（3），则，

①当时，恒成立，所以单调递增，

所以，即符合题意；

②当时，恒成立，所以单调递增，

又因为

，

所以存在，使得，

且当时，，即在上单调递减，

所以，即不符题意；

综上，的取值范围为.