Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.

（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可解得结果；

（2）向量与夹角的余弦值的绝对值的最大值等价于直线与所成的角最小，利用向量法可解得结果.

（1）因为平面，所以，，又，

所以以为原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

所以，，，，，

因为，，，所以平面，

所以是平面的一个法向量，．

因为．

设平面的法向量为，则，

即，令，解得．

所以是平面的一个法向量，从而，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

（2） 因为，设，

又，则，

又，

从而，

设，

则，

当且仅当，即时，的最大值为．

因为在上是减函数，所以此时直线与所成角取得最小值．

所以.