Question

5．已知点M的坐标是（1，1），F₁是椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}$=1的左焦点，P是椭圆上的动点，则|PF₁|+|PM|的取值范围是[6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 |PF₁|+|PF₂|=2a=6，|PF₁|=6-|PF₂|，所以，|PF₁|+|PM=6-|PF₂|+|PM|=6+（|PM|-|PF₂|），由此结合图象能求出|PF₁|+|PM|的最小值和最大值，即可得到所求范围．

解答 解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6
那么|PF₁|=6-|PF₂|，
则|PF₁|+|PM|=6-|PF₂|+|PM|
=6+（|PM|-|PF₂|）
根据三角形三边关系可知，当点P位于P₁时，
|PM|-|PF₂|的差最小，
此时F₂与M点连线交椭圆于P₁，
易得-|MF₂|=-$\sqrt{2}$，此时，
|PF₁|+|PM|也得到最小值，其值为6-$\sqrt{2}$．
当点P位于P₂时，
|PM|-|PF₂|的差最大，
此时F₂与M点连线交椭圆于P₂，
易得|MF₂|=$\sqrt{2}$，此时|PF₁|+|PM|也得到最大值，其值为6+$\sqrt{2}$．
则所求范围是[6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$]．
故答案为：[6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查椭圆的定义、性质和应用，解题时要注意数形结合法的合理运用．