Question

14．（1）求证：C${\;}_{n}^{m}$=$\frac{m+1}{n+1}$C${\;}_{n+1}^{m+1}$；
（2）求和：C${\;}_{n}^{1}$+2²C${\;}_{n}^{2}$+3²C${\;}_{n}^{3}$+…+k²C${\;}_{n}^{k}$+…+n²C${\;}_{n}^{n}$．

Answer 1

分析 （1）根据组合数的公式，把等式右边变形，化出左边公式即可；
（2）根据k（k-1）${C}_{n}^{k}$=n（n-1）${C}_{n-2}^{k-2}$，把k²${C}_{n}^{k}$化为n（n-1）${C}_{n-2}^{k-2}$+n${C}_{n-1}^{k-1}$，再由此求和．

解答 解：（1）证明：右边=$\frac{m+1}{n+1}$•$\frac{（n+1）!}{（m+1）!（n-m）!}$
=$\frac{n!}{m!（n-m）!}$
=${C}_{n}^{m}$
=左边，即证明等式成立；
（2）∵k（k-1）${C}_{n}^{k}$=k（k-1）$\frac{n!}{k!（n-k）!}$
=n（n-1）$\frac{（n-2）!}{（k-2）!（n-k）!}$
=n（n-1）${C}_{n-2}^{k-2}$，
∴k²${C}_{n}^{k}$=[k•（k-1）+k]${C}_{n}^{k}$
=n（n-1）${C}_{n-2}^{k-2}$+n${C}_{n-1}^{k-1}$，
∴C${\;}_{n}^{1}$+2²C${\;}_{n}^{2}$+3²C${\;}_{n}^{3}$+…+k²C${\;}_{n}^{k}$+…+n²C${\;}_{n}^{n}$
=n（n-1）（${C}_{n-2}^{0}$+${C}_{n-2}^{1}$+…+${C}_{n-2}^{n-2}$）+n（${C}_{n-1}^{0}$+${C}_{n-1}^{1}$+…+${C}_{n-1}^{n-1}$）
=n（n-1）2^n-2+n2^n-1
=n（n+1）2^n-2．

点评 本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了转化思想与构造法的应用问题，是中档题目．