题目内容

14．已知圆C：x2+y2-8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0 圆C上任取一点M，过M做y轴的垂线，垂足为N，求MN的中点的轨迹方程．

分析 先给出点M，N的坐标，M，N是已知动点，Q是未知动点，用未知动点Q的坐标表示出已知动点M的坐标，然后代入已知圆的方程化简即可．

解答 解：由题意设M（x0，y0），则N（0，y0），中点坐标为Q（x，y）．
则${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-8{y}_{0}+12=0$①．
又由已知得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}}{2}}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x}\\{{y}_{0}=y}\end{array}\right.$，
代入①化简后得：4x2+y2-8y+12=0．
故所求MN中点的方程为4x2+y2-8y+12=0．

点评 本题考查了与相关动点问题有关的轨迹方程的求法，一般是利用已知用所求点的坐标表示出已知点的坐标然后代入已知方程即可．

练习册系列答案
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4．已知函数f（x）=ex+ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．
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（Ⅱ）若对任意 x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，不等式 f（x）-2ax≥ex（1-sinx）恒成立，求a的取值范围．
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（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；
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（1）证明：线段EF是异面直线AB与CD的公垂线段；
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19．已知函数f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+m}（m＞0）$，当x1，x2∈R，且x1+x2=1时，总有f（x1）+f（x2）=$\frac{1}{2}$
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A．56B．54C．53D．52
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（1）求f（x）的解析式；
（2）设O为坐标原点，△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn，…是一系列正三角形，记它们的边长是a1，a2，a3，…，an，…，求数列{an}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，数列{bn}满足bn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，记{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜$\frac{4}{3}$．
9．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C_1}}$，N是BB1的中点，则|MN|=（　　）
A．$\frac{{\sqrt{21}}}{6}a$B．$\frac{{\sqrt{6}}}{6}a$C．$\frac{{\sqrt{15}}}{6}a$D．$\frac{{\sqrt{15}}}{3}a$

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