Question

4．已知函数f（x）=e^x+ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．
（I）若函数f（x）存在极小值，且极小值为0，求a的值；
（Ⅱ）若对任意 x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，不等式 f（x）-2ax≥e^x（1-sinx）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求导函数，对a讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）存在极小值，且极小值为0，可求a的值；
（Ⅱ）对任意x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，不等式f（x）-2ax≥e^x（1-sinx）恒成立，等价于对任意x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，不等式e^xsinx-ax≥0恒成立，构造新函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求a的取值范围．

解答 解：（I）∵f（x）=e^x+ax，∴f′（x）=e^x+a，
当a≥0时，f′（x）＞0，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；
当a＜0时，由f′（x）＞0，可得x＞ln（-a），由f′（x）＜0，可得x＜ln（-a），
∴x=ln（-a）为函数的极小值点，
由已知，f[ln（-a）]=0，即ln（-a）=1，∴a=-e；
（Ⅱ）由题意，不等式 f（x）-2ax≥e^x（1-sinx）即e^xsinx-ax≥0，
设g（x）=e^xsinx-ax，则g′（x）=e^x（sinx+cosx）-a，g″（x）=2e^xcosx，
x∈[0，$\frac{π}{2}}$]时，g″（x）≥0，则g′（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}}$]时为增函数，∴g′（x）=g′（0）=1-a．
①1-a≥0，即a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}}$]时为增函数，∴g（x）_min=g（0）=0，此时g（x）≥0恒成立；
②1-a＜0，即a＞1时，存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}}$），使得g′（x₀）＜0，从而x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x₀]上是减函数，
∴x∈（0，x₀）时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．