题目内容
【题目】已知定义在实数集上的奇函数
,且当
时,
.
(Ⅰ)求函数在
上的解析式;
(Ⅱ)判断在
上的单调性;
(Ⅲ)当取何值时,方程
在
上有实数解?
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)
或
或
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由是
上的奇函数,得
,且设
,则
,
即可得解;
(Ⅱ)设, 则
,判断正负即可下结论;
(Ⅲ)由函数单调性求得在
的值域即可.
试题解析:
(Ⅰ)因为是
上的奇函数,
所以,
设,则
,
因为,
所以时,
,
所以.
(Ⅱ)证明:设,
则,
因为,
所以,
所以,
所以在
上为减函数.
(Ⅲ)因为在
上为减函数,
所以即
,
同理, 上时,
,
又,
所以当或
或
时方程
在
上有实数解.
点睛: 证明函数单调性的一般步骤:(1)取值:在定义域上任取,并且
(或
);(2)作差:
,并将此式变形(要注意变形到能判断整个式子符号为止);(3)定号:判断
的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论;(4)下结论:根据定义得出其单调性.
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