题目内容
【题目】已知圆经过
变换后得曲线
.
(1)求的方程;
(2)若为曲线
上两点,
为坐标原点,直线
的斜率分别为
且
,求直线
被圆
截得弦长的最大值及此时直线
的方程.
【答案】(1)(2)直线
被圆
:
截得弦长的最大值为
,
此时,直线的方程为
【解析】试题分析:(1)根据转移法求轨迹方程:将代入
得
,化简可得
(2)先根据斜率公式表示
为
,再联立直线方程
与椭圆方程,结合韦达定理可得
,由垂径定理得圆心到直线
的距离
最小时,弦长最大,而
,因此当
时,弦长最大,可得此时直线
的方程.
试题解析:解:(Ⅰ)将代入
得
,
化简得,即
为曲线
的方程.
(Ⅱ)设,
,直线
与圆
:
的交点为
.
当直线轴时,
,
由得
或
此时可求得.
当直线与
轴不垂直时,设直线
的方程为
,
联立消
得
,
,
,
,
所以
,
由得
,
此时.
圆:
的圆心到直线
的距离为
,
所以,
得,
所以当时,
最大,最大值为
,
综上,直线被圆
:
截得弦长的最大值为
,
此时,直线的方程为
.
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