Question

9．设函数f（x）=e^x+ax-1（a∈R）．
（1）当a=1时，求方程 f（x）=0的根；
（2）若f（x）≥x²在（0，1）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得a=1的函数f（x）的导数，判断单调性，由f（0）=0，即可得到方程的根；
（2）将f（x）≥x²在（0，1 ）上恒成立利用参变量分离法转化为a≥x+$\frac{1}{x}$-$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，1 ）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=e^x+x-1，
f′（x）=e^x+1＞0，f（x）在R上递增，
且f（0）=1+0-1=0，
即有方程 f（x）=0的根为x=0；
（2）f（x）≥x²在（0，1）上恒成立，
即为e^x+ax-1≥x²在（0，1）上恒成立，
即a≥x+$\frac{1}{x}$-$\frac{{e}^{x}}{x}$的最大值．
令h（x）=$\frac{1+{x}^{2}-{e}^{x}}{x}$，
h′（x）=$\frac{（x-1）（x+1-{e}^{x}）}{{x}^{2}}$，
令k（x）=x+1-e^x，k'（x）=1-e^x，
∵x∈（0，1），∴k′（x）＜0，
∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0．
因为x-1＜0，x²＞0，所以，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1）上是增函数．
所以h（x）＜h（1）=2-e，
所以a≥2-e．

点评 本题主要考查了利用单调性解方程，以及函数恒成立问题，解决函数恒成立问题常常利用参变量分离法求出参数范围，属于中档题．