Question

1．设x，y为正实数，若4x²+y²+xy=2，则2x+y-xy的最大值为$\frac{17}{12}$．

Answer 1

分析 由题意已知式子为关于2x+y的二次函数，然后利用换元法由二次函数求最值可得．

解答 解：∵x，y为正实数且4x²+y²+xy=2，
∴（2x+y）²=4x²+y²+4xy=2+3xy，
∴xy=$\frac{（2x+y）^{2}-2}{3}$，
∴2x+y-xy=（2x+y）-$\frac{（2x+y）^{2}-2}{3}$，
令2x+y=t，则上式=t-$\frac{{t}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3}$=-$\frac{1}{3}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17}{12}$≤$\frac{17}{12}$，
当且仅当2x+y=t=$\frac{3}{2}$时，2x+y-xy取最大值$\frac{17}{12}$
故答案为：$\frac{17}{12}$

点评 本题考查函数的最值，把已知式子化为关于2x+y的二次函数并换元后由二次函数求最值是解决问题的关键，属中档题．