Question

6．如图，在直角三角形BMC中，∠BCM=90°，∠MBC=60°，BM=5，MA=3，且MA⊥AC，AB=4．求MC与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 由勾股定理得MA⊥AB，从而得到MA⊥平面ABC，进而得到∠MCA是MC与平面ABC所成的角，由此能求出MC与平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：∵BM=5，MA=3，AB=4，∴AB²+AM²=BM²，
∴MA⊥AB，
又∵MA⊥AC，AB、AC?平面ABC，且AB∩AC=A，
∴MA⊥平面ABC，
∴∠MCA是MC与平面ABC所成的角，
∵∠MBC=60°，∴BC=$\frac{1}{2}MB$=$\frac{5}{2}$，MC=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠MCA=$\frac{MA}{MC}$=$\frac{3}{\frac{5\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
∴MC与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．