Question

11．求函数y=$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{2}+2}$的值域．

Answer 1

分析 利用分式函数的性质以及转化法进行求解即可．

解答 解：方法一：
y=$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{2}+2}$=$\frac{3（{x}^{2}+2）-7}{{x}^{2}+2}$=3-$\frac{7}{{x}^{2}+2}$，
∵x²+2≥2，
∴0＜$\frac{1}{{x}^{2}+2}$≤$\frac{1}{2}$，
0＜$\frac{7}{{x}^{2}+2}$≤$\frac{7}{2}$，-$\frac{7}{2}$≤-$\frac{7}{{x}^{2}+2}$＜0，
3-$\frac{7}{2}$≤3-$\frac{7}{{x}^{2}+2}$＜3，
即$-\frac{1}{2}$≤y＜3，
即函数的值域为[$-\frac{1}{2}$，3）．
方法二：
由y=$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{2}+2}$得yx²+2y=3x²-1，
即（3-y）x²=2y+1，
当y=3时，方程等价为0=7，不成立，
则y≠3，
∴x²=$\frac{2y+1}{3-y}$≥0，
得$-\frac{1}{2}$≤y＜3，
即函数的值域为[$-\frac{1}{2}$，3）．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用分式函数的单调性的性质以及函数的性质是解决本题的关键．