Question

16．已知方程x²+2kx+k²=x，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件，并写出它的一个必要不充分条件．

Answer 1

分析 先写出使两根都大于1的充要条件是使两根都大于1的充要条件是：$\left\{\begin{array}{l}{（2k-1）^{2}-4{k}^{2}≥0}\\{（{x}_{1}-1）+（{x}_{2}-1）＞0}\\{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）＞0}\end{array}\right.$；再结合韦达定理解不等式即可得到结论．

解答 解：方程x²+2kx+k²=x，即方程x²+（2k-1）x+k²=0，
设方程的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=1-2k，x₁•x₂=k²，
则使两根都大于1的充要条件是：$\left\{\begin{array}{l}{（2k-1）^{2}-4{k}^{2}≥0}\\{（{x}_{1}-1）+（{x}_{2}-1）＞0}\\{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4k-1≤0}\\{1-2k-2≤0}\\{{k}^{2}-1+2k+1≥0}\end{array}\right.$，
解得k≤-2，
所以方程x²+（k-2）x+k²+1=0有两个大于1的根的充要条件是k≤-2，
它的一个必要不充分条件是k≤-3．

点评 本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系．解决这一类型题目一般都要结合韦达定理，以及充要条件和必要条件的问题．