题目内容
1.已知定义在R上奇函数g(x)满足g(x+2)=-g(x),且当0≤x≤1时,g(x)=log2(x+a)分析 ①利用奇偶性得出a=1,g(x+2)=-g(x),转化得出当0≤x≤1时,g(x)=log2(x+1),当-1≤x≤0时,当-3≤x≤-2,当-2≤x≤-1求解即可.
②问题转化为t≤13•2x+12在[-2,-1]恒成立,且t≤-373373•2x-403403在[-3,-2]恒成立,求出t的范围取交集即可.
解答 解:①∵g(x+2)=-g(x),
∴g(x+4)=g(x),周期为:4,
∵定义在R上的奇函数g(x),
∴g(0)=0,即a=1,
∴当0≤x≤1时,g(x)=log2(x+1),
∵当-2≤x≤-1,则0≤x+2≤1,g(x+2)=log2(x+3)
∴当-2≤x≤-1,g(x)=-log2(x+3);
∵当-1≤x≤0,则0≤-x≤1,g(-x)=log2(-x+1),
∴当-1≤x≤0,g(x)=-log2(-x+1),
∵当-3≤x≤-2,则-1≤x+2≤0,g(x+2)=-log2[-(x+2)+1],
∴当-3≤x≤-2,g(x)=log2(-x-1);
∴g(x)={−log(x+3)2,−2≤x≤−1log(−x−1)2,−3≤x≤−2;
②-2≤x≤-1时:g(x)=-log(x+3)2,
∴g(t−2x8+2x+3)=-log(t−2x8+2x+3+3)2≥1-log23在R上恒成立,
转化为t−2x8(2x+1)≤32恒成立,即t≤13•2x+12在[-2,-1]恒成立,
而13•2x+12的最小值是614,
∴t≤614;
-3≤x≤-2时:g(x)=log2(-x-1);
∴g(t−2x8+2x+3)=log[2x−t8(2x+1)−1]2≥1-log23在R上恒成立,
转化为2x−t8(2x+1)≥53在[-3,-2]恒成立,即t≤-373•2x-403在[-3,-2]恒成立,
而-373•2x-403的最小值是-19712,
∴t≤-19712,
综上:t≤-19712.
点评 本题考查了对数函数的性质,分类讨论的思想,函数恒成立问题,考查了计算化简能力,属于中档题.
A. | 3 | B. | 6 | C. | 13 | D. | 26 |
A. | -12→a+14→b | B. | 12→a−14→b | C. | 12→a+14→b | D. | -12→a−14→b |