题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PB⊥底面ABCD,,
,
,
,异面直线PA和CD所成角等于60°.
(1)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小:
(2)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角A-BE-D的余弦值为?若存在,指出点E在棱PA上的位置;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)棱
上是存在一点
,使得二面角
的余弦值为
,此时
.
【解析】
(1)先证明,
,从而可建立如图所示的空间直角坐标系,再利用
及异面直线
和
所成角等于
求出
的坐标,求出平面
的法向量后可求线面角的正弦值.
(2)设,从而可用
表示
的坐标,进而可用
表示平面
的法向量,最后利用给定的二面角的余弦值得到关于
的方程,解出
即可得到所求的
的位置.
(1)因为底面
,
底面
,故
,同理
.
又因为,故可建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
.
设,
,其中
,
则,
,
,
因为,故
,所以
,
所以,
.
因为异面直线和
所成角等于
,
故,解得
或
(舍),
所以,
,
.
设平面的法向量为
,
由可得
,取
,则
,故
.
又,设直线
与平面
所成的角为
,
则.
(2)设,
,则
,所以
.
又,
,
设平面的法向量为
,
由可得
,取
,则
,
故.
又平面的法向量为
,而二面角
的余弦值为
,
所以,解得
或
(舍),
所以棱上是存在一点
,使得二面角
的余弦值为
,
此时.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在信息时代的今天,随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方法,某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了100人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表:(注:年龄单位:岁)
年龄 | ||||||
频数 | 10 | 30 | 30 | 20 | 5 | 5 |
赞成人数 | 9 | 25 | 24 | 9 | 2 | 1 |
(1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面的列联表,并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”?
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(2)若从年龄在,
调查的人中各随机选取1人进行追踪调查,求选中的2人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为1人的概率.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中
.