题目内容
已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,M(2,0)满足
=
,点T(-1,1)在AC边所在直线上且满足
•
=0.
(1)求AC边所在直线的方程;
(2)求△ABC外接圆的方程;
(3)若动圆P过点N(-2,0),且与△ABC的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.
BM |
MC |
AT |
AB |
(1)求AC边所在直线的方程;
(2)求△ABC外接圆的方程;
(3)若动圆P过点N(-2,0),且与△ABC的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.
(1)∵
•
=0
∴AT⊥AB,又T在AC上
∴AC⊥AB,△ABC为Rt△ABC,
又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,所以直线AC的斜率为-3.
又因为点T(-1,1)在直线AC上,
所以AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1).即3x+y+2=0.
(2)AC与AB的交点为A,所以由
解得点A的坐标为(0,-2),
∵
=
∴M(2,0)为Rt△ABC的外接圆的圆心
又r=|AM|=
=2
.
从△ABC外接圆的方程为:(x-2)2+y2=8.
(3)因为动圆P过点N,所以|PN|是该圆的半径,又因为动圆P与圆M外切,
所以|PM|=|PN|+2
,即|PM|-|PN|=2
.
故点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2
的双曲线的左支.
因为实半轴长a=
,半焦距c=2.所以虚半轴长b=
=
.
从而动圆P的圆心的轨迹方程为
-
=1(x≤-
).
AT |
AB |
∴AT⊥AB,又T在AC上
∴AC⊥AB,△ABC为Rt△ABC,
又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,所以直线AC的斜率为-3.
又因为点T(-1,1)在直线AC上,
所以AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1).即3x+y+2=0.
(2)AC与AB的交点为A,所以由
|
∵
BM |
MC |
∴M(2,0)为Rt△ABC的外接圆的圆心
又r=|AM|=
(2-0)2+(0+2)2 |
2 |
从△ABC外接圆的方程为:(x-2)2+y2=8.
(3)因为动圆P过点N,所以|PN|是该圆的半径,又因为动圆P与圆M外切,
所以|PM|=|PN|+2
2 |
2 |
故点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2
2 |
因为实半轴长a=
2 |
c2-a2 |
2 |
从而动圆P的圆心的轨迹方程为
x2 |
2 |
y2 |
2 |
2 |
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