题目内容
【题目】已知球
与正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的所有表面都相切，并且该三棱柱的六个顶点都在球
上，则球与球的表面积之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
由题意，可知球
与球
分别为正三棱柱的内切球与外接球，分别求出两个球的半径，进而可求出两球的表面积，从而可求出答案.
如下图，
设正三棱柱
的高为
，底面正三角形的边长为
，球的半径为
，
因为球与正三棱柱的所有表面都相切，所以球是该三棱柱的内切球，
所以
，且
的内切圆半径也为，
故
，解得
，
所以球的半径，其表面积为
；
由题意可知，球为正三棱柱的外接球，设球的半径为
，
设
分别为
的外接圆圆心，连结
，则的中点即为球的球心，
连结
，则
为直角三角形，
则
，
，则
，
故球的表面积为
.
所以球与球的表面积之比为
.
故选：D.
【题目】湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到
、
、
、
、
五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
等级 | A | B | C | D | E |
比例 | 15% | 35% | 35% | 13% | 2% |
赋分区间 |
|
|
|
|
|
而等比例转换法是通过公式计算：
，其中
、
分别表示原始分区间的最低分和最高分，
、
分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为
、时，等级分分别为、，假设小明同学的生物考试成绩信息如下表：
考试科目 | 考试成绩 | 成绩等级 | 原始分区间 | 等级分区间 |
生物 | 75分 | B等级 |
|
|
设小明转换后的等级成绩为T，根据公式得：
，所以
（四舍五入取整），小明最终生物等级成绩为77分.已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：
成绩 | 90 | 86 | 81 | 80 | 79 | 78 | 75 |
人数 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 |
（1）从政治成绩获得A等级的学生中任取3名，求至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率；
（2）从政治成绩获得A等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为
，求的分布列和期望.