题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，已知
平面
，
是边长为
的正三角形，
、
分别为
、
的中点.
（1）若
，求直线
与所成角的余弦值；
（2）若平面
平面
，求
的长.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）首先取
的中点
，连接
，以
为坐标原点，过且与平行的直线为
轴，为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，分别求出
，
的坐标，再代入公式计算即可.
（2）首先设
，分别计算平面
和平面
的法向量，根据平面
平面，法向量的数量积等于
即可得到
的长.
（1）取的中点，连接，则
.
以为坐标原点，过且与平行的直线为轴，为轴，
为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则
，
，
，
，
.
，
.
设直线
，
所成角为
，
则
.
所以直线，所成角的余弦值为.
（2）设，则
，
，
.
设平面的法向量
，
则
，令
，
.
，
，
，
.
设平面的法向量
，
则
，令
，
.
因为面平面，所以
，
即
，解得
.
所以
.
【题目】有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：
摄氏温度 |
|
|
|
|
|
|
|
|
热饮杯数 |
|
|
|
|
|
|
|
|
（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里。因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少。统计中常用相关系数
来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为，对于变量
、
，如果
，那么负相关很强；如果
，那么正相关很强；如果
，那么相关性一般；如果
，那么相关性较弱。请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱.
（2）（i）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；
（ii）记
为不超过的最大整数，如
，
.对于（i）中求出的线性回归方程
，将
视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系.已知气温与当天热饮每杯的销售利润
的关系是
（单位：元），请问当气温为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？
（参考公式）
，
，
（参考数据）
，
，
.
，
，
，
.
