Question

12．讨论方程$\sqrt{|1-x|}$=kx的实数根的个数．

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\sqrt{|1-x|}$与函数g（x）=kx的图象，从而化方程的根的个数为图象的交点的个数，从而解得．

解答 解：作函数f（x）=$\sqrt{|1-x|}$与函数g（x）=kx的图象如下，
，
当x＞1时，f（x）=$\sqrt{x-1}$，f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$，
设切点为（x，y），则$\frac{\sqrt{x-1}}{x}$=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$，
解得，x=2，故f′（2）=$\frac{1}{2}$；
故当k≤0或k＞$\frac{1}{2}$时，函数f（x）=$\sqrt{|1-x|}$与函数g（x）=kx的图象有一个交点，
故方程$\sqrt{|1-x|}$=kx的实数根的个数为1；
当k=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）=$\sqrt{|1-x|}$与函数g（x）=kx的图象有两个交点，
故方程$\sqrt{|1-x|}$=kx的实数根的个数为2；
当0＜k＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）=$\sqrt{|1-x|}$与函数g（x）=kx的图象有三个交点，
故方程$\sqrt{|1-x|}$=kx的实数根的个数为3．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了数形结合．