题目内容
8.已知向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$,|$\overrightarrow{b}$|=1,且对任意实数x,不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立,则|$\overrightarrow{a}$|=( )A. | $\sqrt{2}$ | B. | 1 | C. | 2 | D. | $\sqrt{3}$ |
分析 把所给的不等式平方可得x2-|$\overrightarrow{a}$|x+|$\overrightarrow{a}$|-1≥0恒成立,再利用二次函数的性质可得△=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4(|$\overrightarrow{a}$|-1)=${(|\overrightarrow{a}|-2)}^{2}$≤0,由此求得|$\overrightarrow{a}$|.
解答 解:由题意可得${\overrightarrow{a}}^{2}$+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+x2${\overrightarrow{b}}^{2}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$ 恒成立,
即x2+(2x-2)$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1≥0,即x2+(2x-2)|$\overrightarrow{a}$|•(-$\frac{1}{2}$)-1≥0 恒成立,
即x2-|$\overrightarrow{a}$|x+|$\overrightarrow{a}$|-1≥0恒成立,∴△=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4(|$\overrightarrow{a}$|-1)=${(|\overrightarrow{a}|-2)}^{2}$≤0,
求得|$\overrightarrow{a}$|=2,
故选:C.
点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算,函数的恒成立问题,二次函数的性质应用,属于中档题.
A. | tan$\frac{4}{7}$π>tan$\frac{3}{7}$π | B. | tan$\frac{2}{5}$π<tan$\frac{3}{5}$π | ||
C. | tan(-$\frac{13}{7}$π)>tan(-$\frac{15}{8}$π) | D. | tan(-$\frac{13}{14}$π)<tan(-$\frac{12}{5}$π) |
喜爱打篮球 | 不喜爱打篮球 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合计 | 50 |
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由:
(3)己知喜爱打篮球的10位女生中,A1,A2,A3还喜欢打乒乓球,B1,B2,B3还喜欢打羽毛球,C1,C2还喜欢踢足球,现在从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查,求B1和C1不全被选中的概率.(下面的临界值表供参考)
p(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A. | n<2 | B. | n<3 | C. | n<4 | D. | a<3 |